Inhalt
Diese Zusammenfassung der Vektorrechnung fürs Abitur enthält die Themen Einführung, Vektoren im Raum und Geradengleichungen. Diese Arbeit ist auch als PDF (296 KB) verfügbar.
Einführung
- Definition
- Betrag
- Skalarmultiplikation
- Nullvektor
- Einheitsvektor
- Gegenvektor
- Addition
- Subtraktion
- Gesetze
Definition
Ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen, die gleichlang (kongruent), zueinander parallel und gleichgerichtet sind. Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt Repräsentant des Vektors. Folglich ist eine Vektormenge (und somit auch die Anzahl ihrer Repräsentanten) unendlich groß.
Der Vektor, der von Punkt A nach Punkt B führt, wird mit Vektor AB bezeichnet, wobei A den Anfangs- und B den Endpunkt darstellt. Für einen Vektor benutzt man häufig kleine Buchstaben mit übergesetztem Pfeil (hier: a).
Betrag
Der Betrag eines Vektors entspricht der Länge des zugehörigen Pfeils. Er ist somit eine nichtnegative reelle Zahl.
Skalarmultiplikation
Wird ein Vektor a, dessen Betrag größer 0 ist, mit einer reellen Zahl r multipliziert, so entsteht ein neuer Vektor b, welcher genau r-mal so lang ist wie Vektor a. Wenn r positiv ist, zeichnet sich Vektor b durch dieselbe Richtung wie Vektor a aus, ansonsten verhält sich seine Richtung Vektor a entgegengesetzt. Weiterhin ist Vektor b parallel zu Vektor a.
Nullvektor
Ein Nullvektor ist ein Vektor mit dem Betrag 0 und unbestimmter Richtung.
Wird ein Vektor a mit 0 skaliert, so ergibt sich immer ein Nullvektor.
Wird ein Nullvektor mit einer reellen Zahl r skaliert, so ergibt sich wieder ein
Nullvektor.
Einheitsvektor
Einheitsvektoren sind Vektoren mit dem Betrag 1. Ein Vektor b skaliert mit dem Kehrwert seines Betrages ergibt immer den zugehörigen Einheitsvektor.
Gegenvektor
Gegenvektoren sind Vektoren mit gleichem Betrag und entgegengesetzter Richtung. Der zu einem Vektor a zugehörige Gegenvektor b entspricht der Skalierung von Vektor a mit -1.
Addition
Vektoren werden mit einander addiert, indem jeweils der Endpunkt eines Vektors mit dem Anfangspunkt des folgenden Vektors verkettet wird. Der Summenvektor entspricht nun dem Vektor zwischen Anfangspunkt des ersten und Endpunkt des letzten Vektors.
Subtraktion
Vektoren werden mit einander subtrahiert, indem der Gegenvektor des zu subtrahierenden Vektors addiert wird.
Gesetze
Assoziativgesetz (Addition):
Kommutativgesetz (Addition):
Kommutativgesetz (Multiplikation):
Assoziativgesetz (Multiplikation):
Distributivgesetze:
Vektoren im Raum
- Komponentendarstellung
- Betrag
- Skalarmultiplikation
- Addition und Subtraktion
- Ortsvektor eines Punkts
- Vektor durch zwei Punkte
- Skalarprodukt
- Anwendung des Skalarprodukts
Komponentendarstellung
Abbildungen zur Komponentendarstellung im zwei- und drei-dimensionalen Raum:
Komponentendarstellung für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:
Betrag
Der Betrag eines Vektor kann mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatz berechnet werden.
Skalarmultiplikation
Ein Vektor wird mit einer reellen Zahl skaliert, indem jede Komponente des Vektors mit diesem Skalar multipliziert wird.
Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich der eine Vektor durch die Multiplikation mit einem Skalar über den anderen Vektor ausdrücken lässt. Linear unabhängig sind zwei Vektoren genau dann, wenn der genannte Fall nicht zu trifft:
Addition und Subtraktion
Vektoren werden miteinander addiert/subtrahiert, indem die Komponenten der einzelnen Vektoren miteinander addiert/subtrahiert werden.
Addition und Subtraktion für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:
Ortsvektor eines Punkts
Der Ortsvektor eines Punkts P ist derjenige, welcher durch Origo (Anfangspunkt) und den Punkt selbst (Endpunkt) verläuft.
Vektor durch zwei Punkte
Der Vektor, durch zwei Punkte verläuft, ergibt sich aus dem Differenzvektor der Ortsvektoren der beiden Punkte.
Skalarprodukt
Aus dem Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt sich immer eine reelle Zahl:
Das Skalarprodukt ist, geometrisch interpretiert, der Flächeninhalt des Rechtecks mit der Seite und der Länge der senkrechten Projektion von :
Stehen zwei Vektoren senkrecht zueinander, so ist und somit auch das Skalarprodukt .
Ein Vektor wird mit Hilfe des Skalarprodukts quadriert:
Rechenregeln des Skalarprodukts:
Kommutativgesetz:
Gemischtes Assoziativgesetz:
Distributivgesetz:
Das Skalarprodukt kann auch über Komponenten ausgerechnet werden:
Skalarprodukt für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:
Anwendung des Skalarprodukts
Mit dem Skalarprodukt kann der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmt werden:
Mit Hilfe des Skalarprodukts ist es möglich den Betrag von Vektoren zu errechnen:
Geradengleichungen
Punktrichtungsgleichung
Eine Gerade g, welche durch einen Trägerpunkt P verläuft und durch einen Richtungsvektor a bestimmt wird, kann wie folgt beschrieben werden:
Punktrichtungsgleichung für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:
Zweipunktegleichung
Eine Gerade g, welche durch einen Trägerpunkt P und zwei weiteren Punkten verläuft, kann wie folgt beschrieben werden:
Zweipunktegleichung für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:
Lagebeziehungen
Zwei Geraden g und h liegen parallel zu einander, wenn die Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig sind:
Zwei Geraden befinden sich in einer Ebene, wenn die beiden Richtungsvektoren und der Differenzvektor der beiden Trägerpunkte komplanar sind:
Zwei Geraden in einer Ebene liegen für drei- und n-dimensionalen Raum:
Geraden, welche komplanar und linear unabhängig sind, schneiden sich in genau einem Punkt. Es gibt allerdings auch Geraden, die deckungsgleich (Richtungsvektoren sind dann linear abhängig) sind und somit unendlich viele Schnittpunkte haben:
Schnittpunkt zweier Geraden für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:
Zwei Geraden werden dann als Windschief bezeichnet, wenn die beiden Richtungsvektoren (linear unabhängig) und der Differenzvektor der Trägerpunkte nicht komplanar sind: